Aydınlanma Çağı matematikçilerinden Alman David Hilbert o dönemlerde her şeyin kanıtlanabileceği ve matematiğin çelişkisiz olduğu savlarını ortaya atar. Kanıtı yoktur ama bu şekilde olması gerektiğini savunur. 

 

Bu savların 30 yıl sonrasında genç matematikçi Kurt Gödel ilk savın yanlış olduğunu kanıtlar.

 

"Doğru olan her şey kanıtlanamaz." 

 

Buna Eksiklik Teoremi denir.

 

Gödel ayrıca matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını da kanıtlar. (Matematiğin çelişkili olduğunu -eğer çelişkiliyse- 1=2 eşitliğini kanıtlayarak bile gösterebiliriz).

 

Matematiksel kuramlar uygulamada daima geçerli olmak zorundadır. 2<3 ifadesinin boşluğa düşeceği hiçbir modelleme doğru olamaz. Peki bu durum hep böyle midir?

 

Evet. Çelişkisiz her matematik kuramının modelleri vardır. 

 

Örneğin, 2+2=4 aritmetik kuramının bir teoremi olduğundan, aritmetik kuramının her modelinde bu eşitlik geçerlidir.

(2+2=4 işleminin sağlanmadığı bir modelleme olsaydı çelişkiye düşmüş olurduk.)

Bu kuralı tersten ele alırsak, bütün modellerde geçerli olan matematiksel konumubir önerme kanıtlanabilir mi, yani bir kuram mıdır?

 

Bu soruya uygulamada cevap veremeyiz. 

 

(Ancak Kurt Gödel 1930 yılları civarında bu soruya evet cevabını vermiştir. Gödel'in bu teoremi matematiksel mantığın temel teoremlerinden biridir.)

 

Genellikle bir kuramın sonsuz tane modeli vardır ve sonsuz tane modelin her birine teker teker bakarak doğruluğunu kontrol edemeyiz. Uygulama açısından bu mümkün değildir. 

 

Bu yüzden 2+2=4 işleminin doğru olduğunu biliyoruz ama kanıtlayamayız.

Uygulamada bu işleme bakacak olursak. 

Sepetimizde 2 elma var. Sepete 2 elma daha eklersek toplamda 4 elmamızın olacağını biliyoruz. Bunu deneyerek kolayca görebiliriz. Aritmetik kuramın buyurduğu kabuller doğrultusunda da işlemin sonucunun 4 olduğunu bilebiliriz. 

 

Peki bu işlemin doğruluğunu kanıtlayabilir miyiz?

 

Hayır. Defalarca 2 elmaya 2 elma ekleyerek 4 elma elde edebiliriz. Bu işlemi fiziksel olarak mümkün olan sayıda defalarca tekrar etmemiz de mümkündür. Ama işlemi tekrar etmeyi bıraktığımız son denememizden sonraki adımda işlemi tekrar etmiş olsaydık işlemin sonucunun ne olduğunu gözlemleyemeyiz. Çünkü işlemi yapmadık. O aşamaya kadar da deneyerek geldik ve yöntemimiz bu. Uygulamadan tahminde bulunmak değil. Bu yüzden denemediğimiz bir işlem için sonuç belirtemeyiz. Fiziksel olarak giriştiğimiz bu kanıtlama çabası sonuçsuz kalmak zorundadır. Çünkü sonsuz sayıda deneme yapmak imkânsızdır. 

 

Fiziksel deneyler matematiksel kanıt olarak kabul edilmezler. Bu yüzden de 2+2=4'tür ama kanıtlanamaz. 

 

Bu durumu bugün ölmediğimiz için aynı fiziksel koşulların sağlandığı hiçbir günde ölmeyeceğimiz, sonsuza kadar bu koşulların sağlanmasıyla da hiç ölmeyeceğimiz anlamı çıkmamasından da kanıksayabiliriz. (bu durumu fiziksel deney örneği olarak ele alıyoruz. Matematiksel denklem olarak değil.) Fiziksel olarak değişkenler sabit tutulsa da farklı sonuç elde edilebilir. Bu yüzden fiziksel ispatlar kanıt olarak kullanılamaz. En azından matematikte. 

(Kaynak, Matematik ve Gerçek, Ali Nesin, Nesin Matematik Köyü)